Transformation de Lorentz

La transformation de Lorentz donne le changement de coordonnées du repère R au repère R’ , en tenant compte de la vitesse u du repère R’ par rapport au repère R, les deux repères étant alignés dans la direction x et ayant la même origine (x=0, t=0) :

Changement d’abscisse :

x’/c = g * (x/c – u/c * t)

t ’ = g * (t – u/c * x/c)

avec  :   u = vitesse du repère R’ par rapport au repère R

c = vitesse de la lumière dans le vide

g = coefficient de dilatation = (1-u²/c²)^-0,5

Le coefficient g est toujours supérieur à 1, et tend vers l’infini quand u tend vers c.

 

Si les distances sont comptées en temps lumière X= x/c, et la vitesse en rapport U=u/c, les équations s’écrivent de façon un peu plus simple:

            X’ = g* (X – U * t)

            T’ = g* (t – U * X)

avec  :    g = (1 – U²)^-0,5

Cette forme permet d’utiliser des unités du type années lumière ou secondes-lumière pour les distances (en fait pour la distance X), avec la même unité pour les temps (années ou secondes).

 

Inversion des équations

Les équations s’écrivent de manière identique pour passer du repère R’ au repère R, mais avec un changement de signe pour la vitesse (u’= - u), soit :

x/c = g * (x ‘/c + u/c * t’)

t = g * (t’ + u/c * x’/c)

ou  :     

            X = g* (X’ + U * t’)

            T = g* (t’ + U * X’)

            g = (1 – U²)^-0,5

 

Remarque

La symétrie des équations de changement de repère fait qu’on ne peut pas parler de façon absolue d’une dilatation des longueurs ou d’une contraction du temps (ou de leur contraire). Tout dépend du phénomène que l’on veut décrire et par rapport à quels repères.

 

Origines ou orientations différentes

Si les origines des abscisses ou des temps sont différentes, il faut rajouter une correction de translation.

Si les orientations sont différentes, il faut rajouter une correction de rotation.

 

Cas d’un repère tournant

Si l’un des repères tournent par rapport à l’autre, les équations ne sont pas valables. Il faut alors appliquer des formules de corrections spécifiques découlant a priori de la théorie de la relativité générale. De ce fait, l’application de ces formules à des repères tournants autour de la terre est douteuse, même si elle peut fournir des résultats approchés valables.

Exemples de cas

1) Objet fixe dans le repère R

Soit un objet situé dans le repère R et délimité par les abscisses X₁ et X₂.

Sa taille est égale à D X = X₂ – X₁

Si on transformait les coordonnées des extrémités dans un même temps du point de vue du repère R, les 2 extrémités dans R’ seraient données par les abscisses :

            D X’ = g * D X < D X (contraction apparente, car g > 1 )

mais elles sont vues à des temps différents. Cette transformation n’est donc pas valable.

Il faut considérer les extrémités vues au même temps t’ du repère R’, donc appliquer les équations inverses, telles que :

            D X = g* ( D X’ + U * D t’) = g * D X’

L’objet est donc dilaté du point de vue du repère en mouvement, dans la direction du mouvement.

Une sphère immobile dans R est donc vue comme un ellipsoïde de révolution allongé (forme ballon de rugby) dans le repère R’.

 

2) Trajet de particules

Un trajet relie 2 points du repère R, situés à des temps différents :

Si le premier point est à l’origine (0,0), le 2^ème point est à (x,t) tel que x = u * t, donc X = U * t

Du point de vue du repère en mouvement R’, ce 2^ème point est donc situé aux coordonnées :

X’ = g * (X – U * t) = 0 (n’a pas bougé dans le repère R ‘)

t ’ = g * (t – U * X) = g * (1 – U²) * t = t / g   (temps propre plus petit)

Par contre, la distance « parcourue » est donnée par les coordonnées de l’origine O dans le nouveau repère au temps t’ du nouveau repère :

X’ = g * (X – U * t) = - g U * t = - g X (distance parcourue plus grande)

 

3) Trajet quasi-lumineux

On considère le trajet de particules quasi-luminiques (U presque égal à 1). Par exemple des photons : le vide étant imparfait, la lumière se déplace en effet à une vitesse légèrement inférieure à c.

A la limite, si U tend vers 1, le temps s’annule et la distance devient infinie. Pour le photon, il vient de l’infini et le temps ne s’est pas écoulé.